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动态规划简介和算法

说起来蛮奇怪的,有些原来积累的东西现在却又出现了,而且变得貌似很有用。

这次的体会就是“动态规划(Dynamic Programming)”,貌似只是原来学编程玩儿的时候一部分很简单的内容(或者说,编程看来很简单),却不幸的在经济学理论的应用中彻底把我弄晕了。今天突然间想起来要好好的去看看,结果一搜,大汗无比——居然全是编程的东西,而且越看越熟悉,如鱼得水……哦,这就叫做融会贯通么?

下面都是转载的内容,我想对于一个学习过“算法和数据结构”的人来说,看看下面的东西应该不成很大问题——像我这样不求甚解不去理会详细的数理证明的话……看完了熟悉的程序,然后回头看在宏观经济学里面的应用——最优化求解,实在是感觉,天高气爽啊!

以下内容均来自:http://www.comp.nus.edu.sg/~xujia/mirror/algorithm.myrice.com/algorithm/technique/dynamic_programming/index.htm

动态规划的发展及研究内容

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来,在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题,用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题,但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划),只要人为地引进时间因素,把它视为多阶段决策过程,也可以用动态规划方法方便地求解。

多阶段决策问题

多阶段决策过程,是指这样的一类特殊的活动过程,问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段,在每一个阶段都要做出决策,全部过程的决策是一个决策序列。要使整个活动的总体效果达到最优的问题,称为多阶段决策问题

动态规划的基本思想

前文主要介绍了动态规划的一些理论依据,我们将前文所说的具有明显的阶段划分和状态转移方程的动态规划称为标准动态规划,这 种标准动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的,具有严格的数学形式,适合用于理论上的分析。在实际应用中,许多问题的阶段划分并不明显,这时如果刻 意地划分阶段法反而麻烦。一般来说,只要该问题可以划分成规模更小的子问题,并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解(即满足最优子化原理),则可以考 虑用动态规划解决。

动态规划的实质是分治思想解决冗余,因此,动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题,并存储子问题的解而避免计算重复的子问题,以解决最优化问题的算法策略。

由此可知,动态规划法与分治法贪心法类 似,它们都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题,并通过求解子问题产生一个全局最优解。其中贪心法的当前选择可能要依赖已经作出的所有选择,但不依赖 于有待于做出的选择和子问题。因此贪心法自顶向下,一步一步地作出贪心选择;而分治法中的各个子问题是独立的 (即不包含公共的子子问题),因此一旦递归地求出各子问题的解后,便可自下而上地将子问题的解合并成问题的解。但不足的是,如果当前选择可能要依赖子问题 的解时,则难以通过局部的贪心策略达到全局最优解;如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题。

解决上述问题的办法是利用动态规划。该方法主要应用于最优化问题,这类问题会有多种可能的解,每个解都有一个值,而动态规划找出其中最优(最大或最小)值的解。若存在若干个取最优值的解的话,它只取其中的一个。 在求解过程中,该方法也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解,但与分治法和贪心法不同的是,动态规划允许这些子问题不独立,(亦即各子问题可包含公共 的子子问题)也允许其通过自身子问题的解作出选择,该方法对每一个子问题只解一次,并将结果保存起来,避免每次碰到时都要重复计算。

因此,动态规划法所针对的问题有一个显著的特征,即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于,对于重复出现的子问题,只在第一次遇到时加以求解,并把答案保存起来,让以后再遇到时直接引用,不必重新求解。

先贴这么多,详细的内容还是去上面的网址看吧,很好的一份网路教程,难得是新加坡国立大学的中文版。


Comments

  • lonelyboy says:

    嗯,最优子结构神马的,有点说教的味道,敲代码的话就是填充一个数组...要是说可以无限往下DP,像求个fib数列神马的,其实也在打表,不过做了滚动而已.


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