≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（十）

一个东西写到10，总会多少有点成就感...只是不知道已经磨掉了多少人的耐心了呢？

此外这节公式密集，大家看着办吧...

-----------笔记开始------------

继续上一讲，先说说EM算法。

MM、EM和GMM

1. MM（混合模型）

(1) 定义：，其中，，构成一个离散分布。同时有，且，。

(2) 隐变量

我们有数据，同时依据条件概率分布，有。记，则，其中。

则有为x的边际分布。

(3) GMM（正态混合模型）

当，，我们有，且，。

(4) 对数似然函数和最大似然估计

对数似然函数写为。则我们要求的就是，其中。

2. EM算法 (expectation maximum，期望最大方法)

(1) 迭代方法： 给定起始值，迭代出。那么问题就是，如何在已知的情况下，求？

(2) E1步：求。函数形式已知，故可以求各种条件概率什么的。所以有：

。

E2步：计算，由于函数形式已知，我们可以计算并将移出来，所以换成线性形式。

(3) M步：求，这样就完成了迭代。需要证明的性质是：随着迭代，越来越大，且收敛。

(4) 定理：。

证明：

其中，且，定义为两分布的KL距离。

所以，且。而由M步，，故有。

在GMM的情况下，应用EM算法，则有：

(1) E1步：，可以直接计算。

(2) E2步：。

(3) M步：注意有约束条件，所以使用拉格朗日乘子法：

，故有一阶条件：。从而，其中。

还有一阶条件：，得到。

最后，，有。

对GMM而言，E步和M步在k=2的时候，求解过程可参见书上。

第七章：模型评估与选择

1. 概念： 我们有数据集，函数族和损失函数，这样得到最优的，然后求得

（有监督的学习）。之后就是对模型进行评估：的精度如何（使用测试集）？模型的选择就是的选择，使得测试误差比较小。

2. 方法：

(1) 数据充分：分成三块，1/2用来训练(train)，1/4用来检验(validation)，1/4用来测试(test)。其中validation

的概念是，在中，加入J函数来考虑函数族的复杂度，以避免过拟合。而validation就是来调正和选择这里的，再用train和validation重新训练模型。

最后，用test数据集，测试并且评估测试误差。

(2) 数据不充分：一种是cross-validation，分成k（比如5-10）份，极端的就是K=N，ave-win-out；另一种是bootstrap，后续章节详述。