≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（四）

照例继续本周笔记。这次我没啥废话了...

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投影矩阵与消灭矩阵

首先是上次没证的若干OLS性质。基本都是公式。我就照抄原来econometrics做的笔记了。权当复习了...对计量有兴趣的、线性代数还不错的，建议去看《Microeconometrics- Methods and Applications》（?A. Colin Cameron / Pravin K. Trivedi ）。

先定义两个矩阵，这两个矩阵会在某种程度上save your life while learning econometrics...投影矩阵和消灭矩阵。

复习一下，OLS估计量是 ，然后对应的Y估计量是。所以，我们定义投影矩阵P为，这样就有了。也就是说，我们对Y进行了一次投影，然后得到了一个估计值。当然定义投影矩阵并不仅仅是写起来比那堆X简单，而是投影矩阵本身有着一系列良好的性质。

我们先来看把P投在X上会怎么样。显然，，也就是说P不会改变X的值（本来就是把一个东西投到X上嘛~自己投自己怎么会有变化的嘛）。

然后呢，对P进行转置，则，所以接下来。

再定义消灭矩阵M。很简单，我们定义M为，其中I为单位阵（对角线元素为1，其他为0）。这样M又有什么性质呢？显然，也就是说M对Y的效果是得到误差项。而与此同时，M对于X的作用就是，所以称为消灭矩阵嘛。继续，进行转置，则，所以我们还有。

OLS估计值的方差

再次友情提醒，X不是随机变量，所以不要跟我纠结为什么没有条件期望公式之类的东西...

扰动项服从时，或者大样本下，OLS估计量的方差为：

这里为样本方差，所以其分布为： 。这样一来，就有了一个t检验：

。

大样本下，就直接用正态检验好了。此外，如果我们进一步的有更多的同时检验的约束条件，那就是联合检验F。这个就不赘述了...

高斯-马尔可夫定理

顺便还证了一下高斯-马尔可夫定理...这个不像OLS，每次我可记不住他的证明，每次都是现翻书...

我就直接抄wiki了。

选择另外一个线性估计量，然后C可以写为 ，则D为k*n的非空矩阵。

那么这个估计量的期望是 ：

所以，为了保证 无偏，则必有 .

继续求方差：

是一个半正定矩阵，肯定要比大~得证。

变量选择与收缩方法

为了降低测试误差（减少函数的复杂度），有时候会放弃无偏性而进行变量选择。这里首先就是Ridge OLS（岭回归）。还是算一下这个东西好了。

岭回归就是对估计量另外加一个约束条件，所以很自然的想到拉格朗日乘子法。ridge regression的目标函数为，

可以重写为

记

这样我们就得到两个一阶条件：

和，所以有：

这里还可以看出，的取值都是对应的。

Lasso则是把改成，已经没有解析解了...

至于为什么叫收缩方法，可以将X进行奇异值分解，然后可以得出的方差将变小...我就不写证明了，感觉这一块儿讲的也不是很透彻。