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为什么留数之和为零要求有限个孤立奇点?

这个是上上周上复变函数的时候和老师讨论得出的一个很简单的结论。留数是个很好玩而且很有用的东西,其中在定义了无穷远点的留数之后,有一个很好的结论:

如果函数 f(z) 在扩充的 z 平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为 a_1,a_2,...,a_n,infty ,则 f(z) 在各点的留数总和为零。

这个定理在书上的证明很简单(见钟玉泉《复变函数论》第三版p232),就是做了一个以原点为中心的圆,把其他的各个点都包在了里面(如黑色圆所示,我用画图画的,效果不佳,各位凑活着看哈),只留一个无穷远点在外面,因此由沿圆周正、逆向积分之和必为0,可得结论。[......]

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