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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记(二)

继续一周一次的课堂笔记 昨天去晚了站着听讲,感觉好好啊,注意各种集中。想想整个教室里面就是我和老师是站着的,自豪感油然而生。

第二次课讲的东西依旧比较简单,是这本书第二章的前半部分。作为一个好久之前已经预习过的孩子,我表示万分的得意(最小二乘法难道不是三四年前就学过的?话说以后我再面人的时候,就让他推导最小二乘估计量,嘻嘻...考验一下基本功)。

------------原谅我的废话,笔记开始------------

简单预测方法:最小二乘法(以下沿用计量经济学的习惯,简称OLS)

OLS实在是太普遍了,我就不赘述细节了。OLS的思想就是,基于已有的样本信息,找出一条直线,让预测值与真实值之间的残差平方和最小,即最小。其中,为真实的样本观测值(已有样本),而是OLS的预测值。用图来讲的话,X为一维向量的时候,就是用一条直线来最好的拟合各个样本点。

这里就很明显了,首先OLS假设是一条直线。那么就是一个参数模型,即我们需要假设一个未知的参数,构成一个线性方程,然后再去估计的值。然后呢,直线会有很多条,所以我们要找到一个目标——比如这里,就是最小化残差平方和RSS。换言之,我们寻找的就是最优的向量使得RSS最小。

解这个最优化问题很简单,我就不重复了。最后解得的最优估计量为:

这里写成矩阵形式,比较简单。X为一维向量的时候,可以改写成形式,我个人不大喜欢,就不展开了。

简单预测方法:K近邻(k nearest neighbor)

K近邻的思想就更简单了。不就是想预测某个点x对应的y么?那么就把它的邻居都找来,平均一下好了。不是有句话叫做什么“一个人的收入就大概是他的圈子收入的平均值么?”

所以 ,这里表示点x的K近邻。至于这个近邻怎么定义嘛,嘻嘻,很简单啊,欧几里德距离就可以嘛~

评语:吴老师对于这两个算法的直观评价是,OLS呢就是勤奋的学生,预测前先做足功课,预测的时候只要知道X,噼里啪啦一下子y就估计出来了。然而knn则是一个临时抱佛脚的学生,预测的时候开始找自己的k近邻,然后把它们平均一下就好了。哈哈,大意如此,大家可以体会一下这种精神。我个人感觉呢,OLS属于以不变应万变的,而knn则是见机行事的。

统计决策理论(Statistical Decision Theory)

说了这么多,这个模型好不好到底怎么判读呢?凡事总得有个标准呢。这一系列的标准或者说准则,就是统计决策理论了。

首先呢,大致我们需要对X,Y有个分布上的描述:用记作向量的联合分布,然后为其对应的密度函数。之后为了估计Y,我们会有很多很多模型,即各种,而这些组成的函数空间记为

然后我们定义一个损失函数,比如在均方误差意义下,,这样就有了一个选择的标准——使得损失函数的期望最小:。接下来就是,到底在空间里面,哪一个最符合这个标准呢?

首先自然是把联合分布变为条件分布。这个idea显而易见——我们总是知道X的(原谅我吧,全中文确实比较难写,偶尔穿插英文一下 ^_^)。所以conditional on X,我们就有了

去解最小化问题,最终我们得到的就是在每个点X上, 。通俗的讲就是,对于每个点预测,把和它X向量取值一样的样本点都找出来,然后取他们的平均值就可以了。很直观的不是么?这里也有点最大似然的想法呢——比如预测一个男孩的身高,最保险的就是把和它同龄的其他男孩的身高平均一下,不是么?

但是说来简单啊,很多时候都是未知的,根本无法计算嘛。所以只能近似:

  • 回忆一下knn,就是放松了两点:1) 取的是x的近邻,而不一定是x; 2)用样本平均数代替了期望
  • 而OLS呢,也是最后在这里,用样本平均代替了期望。

近似嘛,自然有好的近似和不好的近似。很显然的,当样本比较大、尤其是比较密集的时候,x的邻居应该都离x很近,所以这个误差可以减小;此外,当样本很大的时候,根据大数定律,平均数收敛于期望。所以,这两种算法应该说,都在大样本下会有更好的效果。

模型选择、训练误差与测试误差、过拟合

这里讲的比较简单。模型选择就是的选择,即选择哪一类函数空间,然后再其中找/估计最优的。很显然,如果只有若干个有限的样本,我们总能把各个样本用直线或者曲线依次连起来,这样的话就有无数个f可以作为此问题的解。显然这不是我们想要的——这样的称为“不设定问题”,即可能无解、可能多个解、还可能因为一点点X的变化导致整个解的解答变化。因此我们需要先设定一个解的类别。

训练误差:预测模型估计值与训练数据集之间的误差。RSS就是一个典型的训练误差组成的残差平方和。

测试误差:用训练集以外的测试数据集带来的误差,显然我们更关心的是测试误差——训练总能训练的很好,让损失函数期望最小,然而测试集则不一定这样。一般说来,测试误差>训练误差。

过拟合:选择一个很复杂的f,使得训练误差很小,而实际的测试误差不一定小。最极端的就是刚才说的,把训练集的点一个个依次连起来...训练误差肯定是0是不是?

我们关心的自然是怎么降低测试误差。显然这东西会跟训练误差有关,但是它还跟f的复杂度有关。最最棘手的就是,f的复杂度是一个难以衡量的问题。早期的研究有用自由度来衡量这个复杂度的,但是也不是那么的靠谱...后面的有人鼓捣出来PAC(使得近似正确的概率最大——吴老师原话),还有一个VC来衡量复杂度——但几乎实践中无法计算,没几个计算出来的。嗯,水很深哇。

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≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记(一)

前两天微博上转出来的,复旦计算机学院的吴立德吴老师在开?统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)?这门课,还在张江...大牛的课怎能错过,果断请假去蹭课...为了减轻心理压力,还拉了一帮同事一起去听,eBay浩浩荡荡的十几人杀过去好不壮观!总感觉我们的人有超过复旦本身学生的阵势,五六十人的教室坐的满满当当,壮观啊。

这本书正好前阵子一直在看,所以才会屁颠屁颠的跑过去听。确实是一本深入浅出讲data mining models的好书。作者网站上提供免费的电子版下载,爽!http://www-stat.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/

从这周开始,如无意外我会每周更新课堂笔记。另一方面,也会加上自己的一些理解和实际工作中的感悟。此外,对于data mining感兴趣的,也可以去coursera听课~貌似这学期开的machine learning评价不错。我只在coursera上从众选了一门 「Model Thinking」,相对来说比较简单,但是相当的优雅!若有时间会再写写这门课的上课感受。笔记我会尽量用全部中文,但只是尽量...

------------课堂笔记开始--------

第一次上课,主要是导论,介绍这个领域的关注兴趣以及后续课程安排。对应本书的第一章。

1. 统计学习是?从数据中学习知识。简单地说,我们有一个想预测的结果(outcome),记为Y,可能是离散的也可能是连续的。同时,还有一些观察到的特征(feature),记为X,X既可能是一维的也可能是多维的。对于每一个观测个体,我们都会得到一个行向量,对应它的p个特征的观测值,以及一个观测到的结果值。如果总共有N个个体,那么我们对于每个个体都会得到这些值,则有为观测结果的列向量以及X (n*p)矩阵。这样的数据称之为训练数据集(training set)。这里更多是约定一些notation。

2. 统计学习分类?一般说来,我们有个观测到的结果Y,然后找到一个适合的模型根据X预测Y,这样的称之为有监督的学习(supervised learning)。而有些时候,Y是无法观测到的,那么只是通过X来学习,称之为无监督的学习(unsupervised learning)。这本书主要侧重有监督的学习。

3. 回归和分类器。这个主要和Y有关。如果Y为离散,比如红黄蓝不同颜色,则称之为分类器(学习模型);反之,若Y为连续,比如身高,则称之为回归(学习模型)。这里更多只是称谓上的区别。

4. 统计学习的任务?预测。通过什么来预测?学习模型(learning models)。按照什么来学习?需要一定的准则,比如最小均方误差MSE,适用于分类器的0-1准则等。基于这些准则、优化过的实现方法称之为算法。

5. 统计学习举例?

分类器:依据邮件发信人、内容、标题等判断是否为垃圾邮件;

回归:前列腺特异抗原(PSA)水平与癌症等因素的关系;

图形识别:手写字母的识别;

聚类:根据DNA序列判断样本的相似性,如亲子鉴定。

6. 课程安排顺序?

第二章,是对于有监督的学习模型的概览。

第三章和第四章将讨论线性回归模型和线性分类器。

第五章将讨论广义线性模型(GLM)。

第六章涉及kernel方法和局部回归。

第七章是模型评价与选择。

第八章是测侧重算法,比如最大似然估计,bootstrap等。本学期预计讲到这里。所以后面的我就暂时不列出了。

目测第二节开始将变得越来越难,前阵子自学第二章痛苦不已啊...一个LASSO就折磨了我好久。当时的读书笔记见:降维模型若干感悟

--------10.15补充---------

上周写的时候只是凭着记忆,笔记没在身边。今天重新翻了翻当时记下的课堂笔记,再补充一些吧。

第九章是可加模型,即

第十章是boosting模型

第十一章讨论神经网络

第十二章讨论支持向量机 (Support Vector Machine)

第十三章设计原型方法(Prototype)

第十四章从有监督的学习转到无监督的学习(即有X有Y->有X无Y)

第十五章讨论随机森林模型(Random Forest)

第十六章是集群学习

第十七章结构图模型

第十八章高维问题(我最近一直念叨的curse of dimensionality...今年搞笑诺贝尔奖也多少与此有关,见 http://www.guokr.com/article/344117/,还有一篇相关的paper

ps. 吴老师对于随机森林等等模型的评论也挺有意思的,大致是,大家都没搞清随机森林为什么效果这么好...而且这一类模型都是computatoinal intensive的,即有一个非常简单的idea然后借助大量的计算来实现。此外,这类方法更多有“猜”的感觉,无法知道来龙去脉,在现实中显得不那么intuitive...(不像econometrics那般致力于causality呢)。